《倾斜角与斜率》的同课异构教学案例分析
《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（本文简称新课标）明确指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。按照新课标的要求，传统的教学观念应该要改变，教师应以立德树人为教育教学目标，着眼数学学科核心素养培育，抓住数学本质，重视数学文化，真正实现学生发展。但是，要发挥数学文化的作用，教师自身必须要不断学习，提高自身的数学文化素养。“数学史与数学教育”（贬笔惭）是一个重要的研究领域，基于贬笔惭开展数学教学具有重要的意义。
“倾斜角与斜率”的教学从初中所学的“两点确定一条直线”出发，进一步阐述“倾斜角与斜率”的概念，引出两点所连成的直线斜率的计算公式。传统教学中，该课以直线斜率公式的应用为主要教学目标，忽视了概念产生的过程，部分学生不能很好地理解“倾斜角与斜率”的概念，只会记公式，对于为什么引入斜率无法理解，会认为斜率是“空降”的概念。而斜率概念本身具有很深厚的数学思想与数学文化，能够给教师的教学带来丰富的素材。教师能够利用斜率发展的历史来讲解数学思想方法，将斜率概念的历史发展过程展现给学生，让学生深入理解其背景和意义。这样数学概念教学不再“冰冷”枯燥，能提高学生的学习兴趣。
根据新课标要求，在确立该课教学目标时有几点要注意。首先是知识与技能目标，要求学生探究出直线在直角坐标系中的位置，其实倾斜角与斜率之间的关系是很好理解的。其次是过程与方法目标，要求学生了解斜率的历史发展过程，让学生完成本节课的自主学习过程。最后是情感态度与价值观目标，要求学生掌握相关数学思想。利用倾斜角与斜率来研究直线非常重要，要让学生明白它的 重要性。数学概念的历史发展过程与学生对数学概念的理解过程具有相似性，教师应该让学生深刻体会到HPM的优势。
本文选取了教师Ａ和教师Ｂ就“倾斜角与斜率”这一主题进行的同课异构的教学展示。教师Ａ并未从 HPM 的视角进行教学设计，教师Ｂ则选择从 HPM 的视角进行教学设计。传统教学中，选择从HPM视角进行教学设计的教师非常少。传统教学以传授知识为主要目的，渐渐让学生感受到数学是枯燥无聊的。HPM 视角下的知识传授有助于学生形成完整的知识体系，提高学生的学习兴趣。教无定法，不同的教学方法可以相互启发。本文对教师 A 和教师 B 的教学进行比较和分析，以归纳出HPM 视角下高中数学课堂教学的若干特点，希望通过这种不同视角的交流，对高中数学教学有一定的启示。
一、新课引入环节的比较
在新课引入环节，教师Ａ借助向量工具，通过从特殊到一般的过程，引导学生层层递进地理解用点的纵、横坐标的差的商刻画直线倾斜角的方法，建立直线的斜率公式。教师Ｂ通过展现历史上对倾斜角和斜率的研究过程，引出定义。 教师础的教学片段：
师：点在平面直角坐标系中是怎样表示的？
生1：用坐标。
师：点是构成直线的基本元素，我们应该在直角坐标系中如何表示直线呢？
生2：由无数个点构成直线。
师：在平面直角坐标系中能确定的直线的要素是什么？
生3：两个点确定一条直线。
教师叠的教学片段：
师：滑雪者在雪道上留下的痕迹是怎样的呢？
生1：直线。
师：很好，滑雪者滑行轨迹确实是一条直线。那么同学们回忆一下我们初中学过的什么函数图象也是直线？
生2：一次函数。
师：一次函数的表达形式，大家记得吗？
生3：记得，y = kx + b。
师：办，产是两个参数，大家知道这两个字母的意义吗？
生4：产是指直线在测轴上的截距。
师：很好，那字母办代表什么几何意义呢？
生5：斜率！（初中教师已补充斜率是办）
师：不错，k 的确是斜率，我们还用 k 来表示山坡的坡度。（播放微视频）
在本环节，教师Ａ采用的是常规引入，直接抛出问题，教师Ｂ则通过微视频让学生深入了解斜率的发展过程，通过生活中的实例引出教学内容。两者相比，教师Ａ的引入直接明了，教师Ｂ的引入则较为新颖，更容易激发学生的学习兴趣。
二、新知探索环节的比较
教师础的教学片段：
师：确定一条直线的几何要素是什么？
生 1：两个点；一条直线还可以由一个点以及给定的方向确定。
师：在平面直角坐标系中，过点 P 能够画出多少条直线？这么多的直线它们之间有什么区别呢？
生2：这些直线的方向不同。
师：怎样在平面直角坐标系中表示这些方向？
生 3：这些直线与 x 轴的倾斜程度不同，即与 x 轴所成的角不同，因此可以用这些角来表示这些直线的方向。
教师叠的教学片段：
师（在几何画板中演示绕原点旋转的直线图象）：请同学们观察，y = kx中的字母k如何变化？
生1：倾斜程度越大，办的值越大。
师：过原点的直线上，每一个点的纵坐标与横坐标之比是定值吗？
生2：是定值（这里得到办的求法）。
师：对一次函数而言，办有什么几何意义？
生3：直线与虫轴所成角α的正切值与办有关。
师：下面让我们来看一个微视频，追溯斜率的历史由来，看看数学家是怎么发现斜率的。
教师A从学生已掌握的知识点出发，通过逐步 引导，使数学知识串联在一起，自然而然地引出倾斜角的概念。教师 B 制作 HPM 微视频，追溯斜率的历史由来，让学生通过数学史的学习更深入地理解斜率的概念。斜率的概念产生比直线方程的形成要晚很多，因此用倾斜角 α 的正切值来表示 k 理所应当，而不是教师把概念强加给学生。
叁、两种教学设计理念的分析
高中数学课堂应该体现“叁教”理念，即“教思考、教体验、教表达”，培养学生的学科核心素养。“教思考”指的是培养学生的问题意识、解决问题时的线索意识、参与数学活动时领悟数学思想方法的意识、解决数学问题时的辩证和批判意识；“教体验”指的是以数学知识和技能为载体，引导学生对数学思想方法和科学研究方法进行理解，让学生获得对知识的学习体验；“教表达”指的是教会学生运用数学语言来表述数学问题。教师 A 和教师 B 两种不同的教学设计，从多个层面和方向出发，启发学生思考，体现了“教思考”，也都包含了对数学思想方法和科学研究方法的运用和对知识的学习体验，体现了“教体验”。同时，两种不同的教学设计都要求学生对斜率的发现过程进行表述，促使学生熟练切换数学的文字语言、口头语言、符号语言，体现了“教表达”。HPM 视角下的数学教学过程显得十分自然，大大改变了学生的数学观，促进了学生主动探究，增加了学生的体验机会。 虽然贬笔惭能够让数学课堂变得更加精彩，但过多的引入必然导致学生练习时间减少，因此教师要精心选择数学史背景知识，合理设计教学过程，制订完善的教学风险防范、教学监控、教学管理制度，使贬笔惭视角下的数学课堂常态化。
因此，HPM 课堂有效性模型研究显得尤为重要。如果教师根据HPM课堂有效性模型，精心选择数学史背景知识，合理设计教学环节，选择适合的现代信息技术，制订完善的教学风险防范、教学监控、教学管理制度，HPM 视角下的数学课堂将有很大的教育价值。
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